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Promesse de la science : la science moderne a pour but aussi peu de douleur que possible.[Nietzsche]

Promesse de la science : la science moderne a pour but aussi peu de douleur que possible.[Nietzsche]

Limites de fonctions polynômes et quotient de polynômes

  • Limite en - ¥ et + ¥ d'une fonction polynôme :  on ne peut en général pas se servir des opérations sur les limites comme le montre l'exemple ci-dessous. 
    Soit la fonction f définie sur par f(x) = 2x3+ x² + 2
    en     +    ¥ , il n'y a pas de problème :
    c'est une somme de limites.
    par contre en -    ¥, si on utilise la même méthode que précédemment on ne peut pas conclure :
     
    on est devant une "forme indéterminée", dans ce cas on factorise par  xdegré du polynôme avant de déterminer la limite en -    ¥ :

    L'expression obtenue n'est plus une somme mais un produit :
  • Limite en a ( ou a est un réel donné ) d'une fonction polynôme 
    Si f est une fonction polynôme définie en a, alors  
    autrement dans le cas d'un polynôme définie en a , limite et image coïncident.
    Exemple : 
    Soit la fonction f définie sur par f(x) = 2x3+ x² + 2
  • Limite d'un quotient de polynômes en  - ¥ et en +¥ :
    vous utilisez la même méthode pour factoriser le dénominateur et le numérateur de l'expression puis vous simplifiez l'expression obtenue et en fait vous calculez la limite comme le montre l'exemple ci-dessous.
    Soit la fonction f définie sur par : 

    On transforme l'expression de f(x) comme c'est expliqué plus haut :  
    On calcul la limite du numérateur, puis du dénominateur et on en déduit la limite du quotient :
  • Limite en a ( ou a est un réel donné ) d'une fonction f quotient de polynômes f(x) est alors de la forme :

    ( ou p(x) et q(x) sont deux polynômes )
    -     premier cas : si le dénominateur  ne s'annule pas en a, dans ce cas pas de problème  

    -     second cas si seul le dénominateur q(x) s'annule en a
    dans ce cas on calcule la limite du numérateur p(x) en a, on étudie le signe du dénominateur q(x) suivant les valeurs de x ( il se peut par exemple que pour x < a,   q(x) < 0 et que pour x > a , q(x) >0 ou inversement ) on exprime le résultat obtenu avec 
     
    etc... puis on utilise les opérations sur les limites, si on a 0+ pour la limite au dénominateur et un résultat positif au numérateur la limite sera +    ¥ par exemple.
    Exemple : soit la fonction f définie sur [0 ; 1[ ]1; +    ¥[ par
     
    on veut déterminer les limites de f en 1, seul le dénominateur s'annule en 1.
    Calculons la limite du numérateur en 1 :

    étudions le signe du dénominateur x² + x - 2 sur l'ensemble de définition de f.
    en calculant le discriminant de x² + x - 2 on trouve 2 racines  - 2 et 1 on en déduit le signe de x² + x - 2

    On en déduit
    et par conséquent :
     troisième cas : si le dénominateur et le numérateur s'annule en a factoriser numérateur et dénominateur avec la méthode de la racine et simplifier la fraction au maximum vous n'avez plus qu'à utiliser les méthodes vues dans les deux autres cas.
  • Exercice intéractif


26/12/2009
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